Die höhere Mathematik des Rauschens

In einem der Schwerpunkte des 8. Kurstages ging es um die mathematische Behandlung des Rauschens und warum das Fotostacking von möglichst vielen Einzelbildern positive Effekte auf das Resultatbild hat. Doch Vorsicht: Formeln!

Am vorhergehenden Kurstag besprachen wir die verschiedenen Rausch- und Fremdsignale, die sich einem Astrofoto-Einzelbild aufpägen: Das Signal selbst, der Auslese- und Quantisierungsprozess der Kamera, das Dunkelstromverhalten der Kamera, Abschattungseffekte der Kamera (Flats) und schließlich der Himmelshintergrund.

Doch ein Signal (S) tritt niemals alleine auf; es wird immer vom Rauschen (R) begleitet. Die Größe, die beschreibt, wie gut oder wie schlecht sich ein Signal vor dem Rauschhintergrund abhebt, ist das sog. Signal-Rauschverhältnis S/R.

Aber warum stackt man Einzelbilder und welchen Einfluss hat das auf das Summenbild?

Die Magie des Stackens

Beim Stacken summieren sich zunächst die Signale der Einzelbilder in der Form S = S₁ + S₂ + S₃ + . . . + S_N, wobei S das Signal des Summenbildes ist, S₁, das Signal des 1. Bildes, S₂ das Signal des 2. Bildes und S_N das Signal des letzten (N.-ten) Bildes.

Doch beim Rauschen verhält es sich etwas anders; denn Rauschen addiert sich immer quadratisch. So gilt für das Rauschen des Summenbildes: R² = R₁² + R₂² + . . . + R_N²

Für das Signal-Rauschverhältnis ergibt sich daher mit mathematischer Logik:
S / R = ( S₁ + S₂ + S₃ + . . . + S_N) / √( R₁² + R₂² + . . . + R_N²) (Formel 1)

Und jetzt kommt die große Vereinfachung! Man nimmt an, dass die Signale auf jedem Bild und auch das Rauschen auf jedem Bild etwa gleich ist, solange sich die Belichtungsumgebungen und das Belichtungssetup sich nicht großartig ändern. Dann gilt in guter Näherung:

S₁ = S₂ = S₃ = . . . = S_N := S₀
und
R₁ = R₂ = . . . = R_N := R₀

Setzt man das in die Formel 1 ein, so erhält man für das Signal-Rauschverhältnis des gestackten Bildes:

S / R = (N S₀)/√(N R₀²) = N/ √N * S₀/R₀

Da N/√N = √N folgt schließlich als Ergebnis:

S / R = √N * S₀/R₀

Das bedeutet also, dass sich das Signal-Rauschverhältnis des Summenbildes mit Quadratwurzel der Anzahl der gestackten Bilder verbessert: Wenn wir z.B. 4 Bilder stacken, verbessert sich das Signal-Rauschverhältnis des Gesamtbildes um den Faktor 2. Wenn wir hingegen 16 Einzelbilder zum Stacken verwenden, verbessert sich das Ergebnis um den Faktor 4 u.s.w.

War doch gar nicht so schwer oder?